O conjugado isogonal X^-1 de um ponto X no plano do triângulo ΔABC é construído através das reflexões das retas AX, BC e CX com relação às bissetrizes dos ângulos em A, B e C, respectivamente. Estas retas refletidas são concorrentes no conjugado isogonal X^-1 de X.

As coordenadas trilineares do conjugado isogonal do ponto com coordenadas trilineares α : β : γ são dadas por

α^-1 : β^-1 : γ^-1.

As coordenadas baricêntricas do conjugado isogonal do ponto com coordenadas baricêntricas x : y : z são dadas por

a²/x : b²/y : c²/z.

Um par famoso de conjugados isogonais é formado pelo ortocentro e o circuncentro. O conjugado isogonal do incentro é o próprio incentro. Mais geralmente, um ponto X é o seu próprio conjugado isogonal com relação ao triângulo ΔABC se, e somente se, X é o incentro ou um dos três excentros do triângulo ΔABC. O conjugado isogonal de um ponto sobre o circuncírculo é um ponto no infinito e vice-versa.

O aplicação isogonal leva retas em circuncônicas. O tipo da cônica é determinado pelo número de intersecções da reta l com o circuncírculo K. Se l não intercepta K, a imagem isogonal da reta é uma elipse, se l é tangente a K, a imagem isogonal da reta é uma parábola e se l intercepta K em dois pontos, a imagem isogonal da reta é uma hipérbole, que é uma hipérbole retangular se a reta passa pelo circuncentro.

No applet abaixo, P e Q são conjugados isogonais. A seguinte relação se verifica: s/r = x/y, onde s = d(P,S), r = d(P,R), x = d(Q,X) e y = d(Q, Y). Também, os ângulos indicados no applet são congruentes.

Referências:
Darij Grinberg, Isogonal Conjugation with Respect to a Triangle (version 23 September 2006).
Ross Honsbeger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America, 1996.
Eric W. Weisstein, Isogonal Conjugate. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IsogonalConjugate.html.