Pesquisadores (Wehner e Srinivasan) realizaram o experimento descrito na animação a seguir. Veja:

E como as formigas sabem em que direção estão andando? Há evidências de que elas usam o sol como referência. Outro pesquisador (Santchi) percebeu isso através de outra experiência interessante. Enquanto uma formiga do deserto seguia seu caminho, ele posicionou um anteparo de um dos lados da formiga impedindo que o sol batesse nela. Do outro lado da formiga, ele colocou um espelho de forma a refletir o sol na direção do inseto. Para a formiga era como se o sol houvesse “mudado de lado”. Imediatamente a formiga fez meia volta e começou a caminhar na direção oposta.

Integrais constituem um tema estudado nos cursos de cálculo, uma disciplina de matemática avançada. Para dar uma idéia intuitiva do que é uma integral, digamos que é um método usado para calcular quantidades acumuladas de acordo com alguma função. Por exemplo, imagine que vamos colocar água numa cisterna vazia usando uma mangueira, e que a quantidade de água que sai da mangueira é variável. Mais ainda, imagine que há um medidor que a cada instante nos diz qual a vazão da água que sai mangueira naquele instante. Para sabermos quanta água entrou na cisterna depois de duas horas, temos que de alguma forma somar a vazão que tínhamos em cada instante ao longo destas duas horas. Esse tipo de cálculo é um cálculo integral.

Integração por caminhos, ou integrais de linha são um tipo especial de integração. Um exemplo de problema que envolve integrais de linha é o seguinte: Imagine que há uma montanha na sua frente e que você quer chegar ao outro lado dela. Há vários trajetos que você pode usar para alcançar seu objetivo. Em alguns desses trajetos você terá que subir e descer, talvez até escalar, outros, talvez, permitam que você simplesmente contorne a montanha sem mudar de altitude. Para cada trajeto você poderia se fazer as seguintes perguntas:

Para responder essas perguntas você deverá fazer certo tipo de soma um pouco mais complicada. Para a primeira pergunta, você precisará “somar” todo o seu deslocamento. Para a segunda pergunta, terá que somar todo o deslocamento vertical. Mas para cada trajeto, será uma soma diferente, que depende do relevo encontrado no caminho efetuado. Por isso faz sentido chamá-la de integral por caminho ou integral de linha.

Como vimos, as formigas do deserto, após uma longa e aleatória jornada, sabem em que direção devem seguir para voltar para casa e, mais ainda, sabem quanto devem andar nessa direção. Se nós precisássemos fazer isso (como precisavam os marinheiros antigamente), utilizaríamos uma bússola e algum instrumento para medir distância. Poderíamos, por exemplo, seguir o seguinte procedimento:

Para computar as distâncias do primeiro tópico acima, utilizaríamos integração por caminhos. É claro que as formigas nunca estudaram cálculo, mas de alguma forma elas já são “programadas” para efetuar automaticamente estes cálculos.

Devlin, K. O Instinto Matemático. Editora Record, 2009.

Pearce, J. M. Animal Learning And Cognition: An Introduction. Psychology Press, 1997.

Wehner, R.; Srinivasan, M. V. Searching Behaviour of Desert Ants, Genus Cataglyphis (Formicidae, Hymenoptera). Journal of Comparative Physiology, vol. 142, pp. 315–338, 1981.