A teoria do caos também é conhecida como teoria de sistemas dinâmicos. Mas o que é um sistema dinâmico? Vamos exemplificar com um sistema dinâmico discreto que corresponde a uma aplicação financeira e pode ser facilmente compreendido.

Imagine que você aplicou 50 mil reais num fundo que rende uma taxa fixa de 1% ao mês e que em cada mês, no dia em que entrarem os juros na conta, você vai retirar 100 reais desta aplicação. No fim do primeiro mês, haverá na conta os 50 mil, mais 500 reais de juros (1% de 50 mil), menos os 100 reais que você retira da conta. Resulta que haverá 50.400 reais.

x + x/100 − 100,

isto é

1,01 x − 100.

Portanto, a partir do valor que se tem no início do mês, podemos calcular o valor que teremos no fim do mês usando a função f dada pela fórmula

f(x) = 1,01 x − 100.

Se começamos com 50 mil, no fim do primeiro mês teremos f(50.000) = 1,01 × 50.000 − 100 = 50.400 reais.

No fim do segundo mês teremos f(50.400) = 1,01 × 50.400 − 100 = 50.804 reais. Veja que f(50.400) = f(f(50.000)).

No fim do terceiro mês teremos f(50.804) = 51.212,04 reais. Novamente, f(50.804) = f(f(50.400)) = f(f(f(50.000))).

Para simplificar a notação vamos usar f 2(x) para nos referir a f(f(x)), f 3(x) para denotar f(f(f(x))) e assim por diante.

Podemos construir uma tabela que nos dirá quanto teremos mês a mês:

Um sistema dinâmico discreto é uma função como a função f acima, que podemos aplicar repetidamente para obter valores de certa variável correspondentes a momentos sucessivos.

Mas e o caos, como ele surge? Alguns sistemas dinâmicos possuem grande sensibilidade com relação aos dados iniciais. Isso significa que se começarmos a iterar a função a partir de dois pontos diferentes, mesmo que esses pontos sejam muito próximos, o resultado depois de algumas iterações será muito diferente para um ponto e para outro.

Novamente, vamos utilizar alguns exemplos para facilitar a compreensão. Primeiro consideremos um sistema dinâmico correspondente à função f(x) = x + 2. Vamos iterar esse sistema para dois pontos iniciais bem próximos, 0 e 0,001 (a distância entre eles é de um milésimo). A tabela abaixo mostra os valores obtidos nas sucessivas iterações de f partindo de cada um destes pontos e também a distância entre os resultados obtidos com cada ponto inicial:

Podemos ver que, não importa quantas vezes iteremos, a diferença entre o resultado obtido quando partimos do ponto 0 ou quando partimos de 0,001, é sempre a mesma, um milésimo.

Vamos considerar, agora, um sistema diferente, o sistema dado pela função g(x) = x2 + 1:

Como podemos observar, para esta função g, a diferença entre os resultados obtidos a partir do valor inicial 0 ou do valor inicial 0,001 cresce rapidamente. Na sétima iteração já é da ordem de milhões. Isso significa que se você usar a função g para modelar algum fenômeno natural, erros ou aproximações da ordem de um milésimo em seus dados iniciais podem gerar diferenças gigantescas no resultado obtidos após algumas iterações.

Certamente, pode-se argumentar que no caso do exemplo dado, o erro relativo não é tão grande, isto é, a diferença entre gn(0) e gn(0,001) é de ordem bem inferior aos valores absolutos de gn para cada uma dessas condições iniciais. Há, entretanto, outras funções para as quais o erro relativo cresce rapidamente. Tente, por exemplo, montar as tabelas acima para a função h(x) = −4 x2 + 4x e itere para os pontos iniciais 0,3 e 0,30001.

Rosa, L. S.; Pereira, W. F. Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicos Caóticos via Família Quadrática. FAMAT em Revista, n. 12, 2009.