Um número primo é um número natural maior que um, que só é divisível por um e por ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos. O número 6 não é primo, pois é divisível por 2 e por 3.

A seguir apresentamos uma lista com os 100 primeiros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547.

Observe que todos os números naturais maiores que 1 que não são primos, são sempre múltiplos de algum primo. O aplicativo Primitives, elaborado por Alec McEachran, oferece uma magnífica representação visual deste fato:

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Quantos primos existem? Infinitos. Essa afirmação pode ser demonstrada através de uma prova bonita que apresentamos a seguir.

Vamos fazer uma prova por absurdo. Isso significa que vamos supor, como hipótese, que existam apenas finitos números primos, isto é, que há um número primo que é o maior de todos. Em seguida, a partir desta hipótese, mostraremos que somos capazes de construir um número primo que é maior ainda do que aquele que supuséramos ser o maior de todos. Conclusão: nossa hipótese era falsa! Não existe um maior número primo, podemos sempre encontrar um maior.

Mãos à obra:

Imaginemos que existem apenas N números primos, para algum N natural. Então, poderíamos enumerar todos os números primos:

P1, P2, P3, P4, P5,..., PN.

Agora, vamos chamar de Q ao número natural que obtemos quando multiplicamos todos esses números primos:

Q = P1 × P2 × P3 × P4 × P5 × ... × PN.

É claro que Q é maior que todos os N números primos. E também é claro que Q não é primo, tem N divisores, cada um dos primos é divisor de Q. Mas e o número Q + 1? O número Q + 1 é também maior que todos os N primos. Só que ele não é divisível por nenhum destes N números primos, quando você tenta dividir, sempre dá resto 1. Isso significa, que PN não pode ser o maior de todos os primos. Ou existe um primo ainda maior que divide Q + 1, ou então, o próprio Q + 1 é primo! Isso nos garante que existem infinitos números primos!

Paenza, A. Matemática... Cadê Você? Sobre Números, Personagens, Problemas e Curiosidades. Editora Record, 2009.