Errata

||PQ|| = comprimento de r = Ö   (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2   .

Desde que RQ é paralelo ao eixo z, seu comprimento é simplesmente |c₂ - c₁|. Para encontrar o comprimento de PR, considere S = (a₂, b₁, c₁).

Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras e pelo teorema (2.2), o quadrado da medida da hipotenusa é:

||u||2 = ||t ·v||2 + ||u - t ·v||2 = t2 ·||v||2 + (u - t ·v) ·(u - t ·v) = t2 ·||v||2 + u ·u - 2 ·u ·(t ·v) + (t ·v) ·(t ·v) = t2 ·||v||2 + ||u||2 - 2 ·t ·(u ·v) + t2 ·||v||2,

Então, a diagonal d é u₁ + u₂ + u₃, isto é,

d = u1 + u2 + u3 = (c, c, c).

Resolva as questões abaixo.

(a)

Considere a função w = f(x) = x². Determine os conjuntos de nível de f e faça um esboço de seu gráfico.

(b)

Considere a função w = g(x, y) = x². Determine as curvas de nível de g e faça um esboço de seu gráfico.

(c)

Considere a função w = h(x, y, z) = x². Determine as superfícies de nível de h.

(d)

Suponha que você chegue em uma sala de aula onde a única sentença escrita no quadro é: "Faça um esboço do gráfico da função w = x²! ". Que desenho você faria?

... a medida de um dos seus lados (d(p, q)) é sempre menor ou igual que à soma das medidas dos outros dois lados (d(p, r)+ d(r, q)).

Multiplicando-se ambos os membros por ||x|| ·||y||, temos a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Definição 6.9 (A CURVATURA) Seja a:[a, b] Ì R® R³ uma curva de classe C^¥ parametrizada pelo comprimento de arco. A curvatura em um ponto a(s) sobre o traço da curva é o número

k(s) = ||a¢¢(s)||.

Definição 6.10 (O VETOR NORMAL PRINCIPAL) Considere uma curva parametrizada a:[a, b] Ì R® R³ de classe C^¥ com a¢(t) ¹ 0, para todo t Î [a, b]. Definimos o vetor normal principal de a em a(t) por:

n(t) =  a¢¢(t) ||a¢¢(t)|| .

Em outras palavras, este teorema nos diz que é possível aproximar uma função f de classe C¹ de duas variáveis na vizinhança de um ponto p = (a, b) pela equação do plano tangente

z = l(x, y) = f(a, b) + (¶f/¶x)(a, b) ·(x - a) +(¶f/¶y)(a, b) ·(y - b)

(uma função afim) e que o erro R(a, b, x, y) = f(x, y) - l(x, y) cometido nesta aproximação tende a zero mais rapidamente do que ||(x - a, y - b)||.

A equação do plano tangente ao gráfico de z = f(x, y) no ponto (d^*, h^*) é dada pela expressão

c = l(d, h) = f(d*, h*) +  ¶f ¶d (d*, h*) ·(d - d*) +  ¶f ¶h (d*, h*) ·(h - h*).

Funções escalares de 3 variáveis

E para uma função de três variáveis? Se w = f(x, y, z) é uma função de classe C¹, p = (a, b, c) é um ponto interior do domínio de f e

l(x, y, z) = f(a, b, c) +  ¶f ¶x (a, b, c)·(x - a) +  ¶f ¶y (a, b, c) ·(y -b) +  ¶f ¶z (a, b, c) ·(z - c),

então ...

Ou, usando uma notação vetorial mais compacta (x = (x, y, z) e p = (a, b, c)), temos que se f é de classe C¹, p é um ponto interior do domínio de f e

w = l(x) = f(p) +  ¶f ¶x (p) ·(x - a) +  ¶f ¶y (p) ·(y - b) +  ¶f ¶z (p) ·(z - c),

então ...

Onde está escrito "k ³ 0", leia-se "k ³ 1" e, onde está escrito "de classe C¹", leia-se "de classe C^k".

Considere f:D_f Ì Rⁿ ® R^m e g:D_g Ì R^m ® R^k duas funções de classe C^k tais que f(D_f) Ì D_g de modo que podemos construir a composição h = g °f:D_h = D_f Ì Rⁿ ® R^k ...

Mostre que se F:R² ® R² é um campo vetorial conservativo de classe C², então

¶F1 ¶y (x, y) =  ¶F2 ¶x (x, y),

para todo (x, y) Î R², onde F₁ e F₂ são as funções coordenadas de F.

Onde está escrito "de classe C^k" ou "de classe C^l", leia-se "de classe C^r" e, onde está escrito "k ³ 1", leia-se "r ³ 1".

Sejam f:Rⁿ ® R e h:Rⁿ® R definida por h(x) = f(x + p).

(O POLINôMIO DE TAYLOR DE ORDEM k) Considere uma função f:D Ì R® R de classe C^k e a um ponto do interior de D. Então existe um único polinômio p_k de grau k que satisfaz as condições p_k(a) = f(a), p_k¢(a) = f¢(a), ..., p_k^(k)(a) = f^(k)(a):

y = pk(x) = f(a) + f¢(a) ·(x - a) +  f¢¢(a) 2! ·(x - a)2+ ¼+  f(k)(a) k! ·(x - a)k.

Considere a função

f(x, y) = -3  x ey + x3 + e3  y

definida para todo (x, y) Î R².

Para encontrá-los, basta calcular a função-objetivo nestes pontos e selecionar os de maior valor. Como

f(0, -Ö3) = f(0, +Ö3) = 0, f(-1, -1) = f(+1, -1) = -1, f(+1, +1) = f(-1, +1) = +1,

segue-se que os pontos (+1, +1) e (-1, +1) são soluções do problema de otimização.

Uma das vantagens em se definir funções com o comando unapply(...) é que podemos usar a mesma notação que usamos quando escrevemos textos em matemática.

As curvas de nível de z = g(x, y) = 2 ·x ·y associadas aos níveis z = k diferentes de zero são hipérboles y = k/(2·x). A curva de nível associada ao nível z = 0 é formada pelo par de retas x = 0 e y = 0.

O domínio de f é o conjunto R² As curvas de nível associadas aos níveis z = k com k < -1 ou k > +1 são formadas pelo conjunto vazio e as curvas de nível associadas aos níveis z = k com -1 £ k £ +1 são as retas

y = x - arcsen(k) + 2 ·l ·p    e     y = x - (p- arcsen(k)) + 2 ·l·p,        com l Î Z.

G. Mullineux, Constraint Resolution Using Optimisation Techniques, Computers & Graphics, no. 25, pp. 483-492, 2001.